到N維去

到N維去
分形, 弦理論, 維度,

譯文 小紅豬小分隊 發表於2010-01-20 10:00

原文，譯者：五月香樟；
校對：CS；特殊感謝Shea提出寶貴意見。

我們處理三維問題十分自如，必要時對付四維問題也湊合。我們不費吹灰之力就能接受有實體和無限空間的三維世界。加上第四維時間後情況就有點複雜了。但當我們開始研究包括再多或再少維數的世界時，情況才變得真正複雜起來。

雖然這些奇妙的世界讓人有點頭疼，可它們的確很重要。比如，弦理論作為我們最有希望的萬有理論候選者，在低於10維的時空中根本沒有意義。再比如，固體的一些奇異但有用的特性，如超導性，需要利用二維、一維、甚至零維的理論才可以解釋。好，請準備好，現在我們就從最艱深的部分開始解釋維度：維度是什麼？為什麼如此定義？它有什麼應用？在此過程中，你可別抓狂，也別走神。

維度是什麼？

如此基本的問題，你可能認為我們早有一個簡單的答案，可惜並非如此。事實證明，僅僅對維度下個定義就是一個很棘手的問題。

對維數最直觀、也是最古老的描述是：一個系統所擁有的維數是物體能夠移動的獨立方向的數目。上和下僅當作一個維度是因為上和下是一個硬幣的兩面，向上走就是遠離下方。左和右，前和後也是這樣，但上和右、下和後等之間就沒有這種關係。所以古希臘幾何學家說：我們生活在三維世界中。

現在一切還很簡單，但馬上事情就要開始失控了。我們同時需要空間和時間來定義我們在宇宙中的位置。早在18世紀末，法國人達朗貝爾和拉格朗日就發現用於描述時間的數學語言和用於描述空間的非常相似。所以，當時的數學家很快得出結論：時間就是第四維度。

這樣就打開了思想的閘門，將時間看作為第四維度，這種新的理解遠超出其原始定義，大大地擴充了維的概念。從那時候開始，維不再僅僅是描述物理的空間坐標，它被當作通用術語來描述決定任何物體狀態的獨立坐標或變量數。

這一手實在高明，從此數學家可以運用幾何分析這一利器去處理他們想研究的幾乎任何事情。例如，現在一個經濟學家可能將整個經濟活動看作一個巨大的多維度客體。饅頭或大醬的價格升降可以被描述為價格坐標在多維空間中的運動，與我們在前後或上下方向上的運動完全類似，當然，這僅是描述經濟狀態的數百萬維度中的兩個

理解維度

請您先把此句末尾的句號塗成實心的，然後盯著它看。恭喜，你已經目睹了零維空間。現在用你的手指沿著紙邊移動，然後把本頁當成一面紙看。這就分別是一維和二維空間，也挺容易吧？但現在，嘗試想像超過三維的空間。

頭疼吧？別擔心，很多人跟你一樣。 “我個人無法想像超過三維的空間”，倫敦帝國學院的弦論學者Michael Duff說道，他的工作時常需要處理十維或十一維的對象。被這坦誠的答案雷到了吧，那麼，理論物理學家們為何還能對他們的理論充滿信心呢？

17世紀的法國數學家笛卡兒替他們解了圍，他把真實的幾何空間轉換成抽象的代數方程。例如，給定一條長度一定的線段，一端固定，另一端在二維空間裡旋轉，那麼你可以寫一個方程，描述線段旋轉時x坐標和y坐標滿足的關係，這就是一個圓的代數表達。

這種想法實在強大，從此僅通過引入更多的坐標就能夠“維所欲維”地增加維數。比如，通過引入新坐標z，我們可以採用剛才用x、y坐標滿足方程來描述二維圓的方法，來描述三維的球。

那麼，為什麼不從此就開始寫下四維、五維或六維“超球體”的方程呢？終於，在1854年，德國數學家黎曼成了第一個吃螃蟹的人，將三維幾何推廣到任意維數上。這多維的方程式也沒什麼大不了的。普林斯頓高級研究學院的弦論學家威頓說：“結果處理起來不算困難。”

從數學上看的確如此，但我們總不免好奇，那些高維數的物體實際上看起來是什麼樣的？紐約大學物理學家Gia Dvali認為這個實際上無關緊要，只要你腦子裡能夠想出一些管用的圖像就行了。他說：“方程的本質通過圖像和動畫可以非常容易地記在腦子裡。”對他而言，牛頓引力定律的圖像是：一個有質量的物體產生的引力場的力線沿所有方向延伸到無限遠處。不管你想像的空間有多少維，這幅圖像同樣有效。 Dvali承認：“這種物理圖像雖然與實際的額外維空間無關，但是它讓我們可以很容易地把定律推廣到高維空間。”

零維 － 在點上

零維的東西，呃，比如皇帝的那件新衣存在嗎？實際上，這種說法就很自相矛盾。因為沒有維就沒有容納任何東西的空間，因此零維一定意味著沒有任何東西。一定嗎？

不一定。物理學中一些最熱門的對像是被稱為量子點的零維半導體結構。它可以是從納米到微米級別的任何物體，雖然其物理尺度不為零，但電子在其內部填充得如此緻密，以至於它們沒有自由的維度。

荷蘭Delft大學的Leo Kouwenhoven說：“對於電荷而言它是零維陷阱。”被這樣束縛住的電子的運行方式非常特殊，由此帶來一些極為有用的特性。

首先，因為被束縛在量子點中的電子寸步難移，所以輸入到量子點的任何能量都不能用來擾動其中的電子，而只能以光的形式釋放，這就使量子點有望被製造成高效低功率的光源。因為它們如此之小，所以這些量子點同時也可以作為熒光標誌來標識抗體之類的生物分子，用來追踪它們在活的生物體中的生化過程。

Kouwenhoven承認量子點的應用仍然遙遠。他說，首先我們得用無毒材料來製作量子點。他自己的研究集中在另一個潛在的應用熱點領域。因為每個套牢在量子點上的受激電子精確地產生一個光子，因而信息能夠在光子和電子之間可靠地來回傳遞，這使得量子點成為能夠用在第一代量子計算機上控制和儲存數據的合適介質。量子計算機的功能驚人地強大，如果我們能建造一台足夠大的量子計算機，這肯定會改變我們處理信息的方式。

Kouwenhoven說：“可能幾年後我們會有採用量子點工作原理的樣機，至於商業應用可能在十年左右。”是不是有點歡欣鼓舞了？看來，“無”中生“有”也並非完全不可能啊。

一維 – 沿著直線走

一維的物理學開始看起來有點熟悉了。一維僅僅是一條直線，是牛頓運動定律這樣的經典物理規律起作用的理想環境。

然而卻是在量子物理中，古老的一維世界才開始煥發生機。瑞士日內瓦大學的一維材料專家Thierry Giamarchi說：“在一維世界，你能得到在其它任何維數中都沒有的新奇效應。”

比如電子的行為，正常情況下它們竭盡全力避開同類，但當困在只能來回移動的一維通道時，它們開始相互作用，整體像一個電子般移動。在適當條件下電子的特性有所改變：一個困住的電子能夠表現得像兩個粒子，一個具有它的電荷，另一個具有它的自旋。 Giamarchi說：“這類現像在一維世界中屢見不鮮。”

電子的這些特性不止具有理論上的意義。當電子元件越來越小，一維物理學效應就越來越重要。我們可以按照需要將一維的碳納米管製造成導體或者半導體，這將是未來數代計算機芯片製造工業的熱門領域。

clip_image002 1½維 – 分形景觀

我們生活在三維世界中，其邊界是二維表面，而二維面的邊界是一維的線。這是一個舒適的、容易理解的、整數維的世界。

果真如此嗎？數學家芒德布羅在他1982年出版的《自然的分形幾何》中指出：云不是球狀的，山峰也不是圓錐狀的，海岸線也不是圓的。真實世界的維數實際上並非干淨整齊的整數維。

假如你想你想把雪花美輪美奐的外周線描下來，你越放大，就越會發現自己面對著一個複雜的形狀，而描繪得越接近，畫的線就越長。你畫的仍然是一條線，但它比直線多了很多皺褶。一條線，不管它彎曲得多厲害，都還是個一維的物體，難道不是嗎？

呃，並非如此。歡迎來到分形維度：介於我們熟悉的一維、二維和三維世界之間的不規則維度。分形維與我們平時熟悉的左右、前後和上下這些維度不同，它們之間有著緊密的聯繫：當你以更微小的尺度觀察和測量一個複雜物體的細節時，它們描述了這個物體額外佔據了多少空間。 （見圖表）

不僅雪花，很多自然物體的形狀都是分形的：河網、分支閃電、雲團、花椰菜。你甚至可以聲稱自己生活在分形景觀中，這多少取決於你在世界上所處的地點。例如，依據測量時採用的是精確度是碼尺還是卡尺級別的，英國那崎嶇不平的海岸線的長度呈現劇烈的變化，據計算其分形維數是1.25左右。而光滑的南非僅僅比直線粗糙一點，其分形維數為1.02。

二維 – 平面國的景觀

英國曼徹斯特大學的Andre Geim說：“二維大大地好。”一維太簡單，難以令人滿足，而三維則太複雜和雜亂。二維的“平面國”則剛剛好，它的空間剛好能讓有趣和有用的東西出現。 Geim說：“作為物理學家，你會希望生活在這個維度。”

他當然會這麼說了。 Geim的團隊在2004年製造出第一個二維材料石墨烯，這種厚度僅為一個碳原子的二維碳片可以讓電子幾乎無阻礙地透射，該材料也因此有巨大的應用前景。如果未來計算機的導線用一維納米管製造，那麼石墨烯將是製造電路板的理想材料。

二維世界的好處還不僅如此。再比如說高溫超導體，我們早就知道在130K左右存在超導體，但是對其物理機制一直不甚了解，經過20年艱苦的研究後，現在只知道超導現象可能源於電荷相互作用所形成的二維[u3] “條紋”。對深藏於超導現象之後的二維世界的了解，將有助於我們開展常溫超導體方面的研究。

二維平面既是現實的，又是深奧的。當電子被強磁場約束在溫度低於0.33K的二維層狀半導體材料中時，長期被認為基本不可分的電子似乎分裂成了具有分數電荷的粒子，這個現象叫做分數量子霍爾效應，產生的粒子叫做任意子。

任意子不但促使我們重新思考電子的本質，跟零維的量子點一樣，它給了我們建造一種超級量子計算機的希望。這種機器能夠忠實地模擬量子系統的行為，如果能大規模投入使用，信息處理過程勢必又迎來一次革命。總而言之，在“二維”平原之上，鋪展著條條通向從新藥研發到並行宇宙的幾乎一切事物的未來之路。

三維 – 我在故我在？

二維平原和多維超空間已成為想像力神遊的美好娛樂場，而我們的身體卻似只能滯留於三維空間之中。我們為什麼不是生活在在二維、四維、五維或者更多空間裡呢？最近，當物理學家嘗試融合萬有引力和量子理論來解釋時空的本質的時候，這一古老問題也將被重新提起。

作為通往量子引力的一種路徑，弦理論卻給出了一個不令人滿意的模糊答案：從0維到10維的空間都是可能的。這促使理論物理學家訴求於人擇原理：各種維度的宇宙都是可能存在的，至於我們看到的世界是三維的原因，則是因為假如它不是，那麼人類就不可能存在其中並得到這一觀測結果。 [u4] （注：『人擇原理』被觀測的宇宙的環境，必須允許觀測者的存在。）

2005年西雅圖華盛頓大學的Andreas Karch和哈佛大學的Lisa Randall為了闡明這一問題而提出了一個更依靠於物理原理的解釋。他們建立了一個理論模型，該模型的時空是弦論中最普遍接受的十維時空，在這個隨著時間膨脹的超空間中漂浮著各種不同維數的宇宙，它們在碰撞時湮滅。計算表明，三維和七維的宇宙最有可能從這種碰撞中倖存下來。

如果你接受了這個模型，那麼就幾乎回答了我們為何對三維空間情有獨鍾這一問題。除了最後一個疑問，為什麼不是更寬敞的七維而非得是擁擠的三維呢？

這個問題也許可以從一個歐洲研究小組最近完成的工作得到解釋。他們認為，時空並非是一個均勻的整體，而是由許多極小的片段構成的微元。為此他們把時空分割成一些簡單的單形，這些單形以不同的方式粘和在一起，構成整個完全時空。單形[U5] （也稱單純形）是空間中最簡單的多面體，是平面幾何中三角形這一概念在高維中的自然推廣。量子理論告訴我們宇宙的真實形狀應該是所有這些不同的粘和方式的概率疊加，通過要求在這個宇宙模型中因果關係要得到嚴格滿足，該研究組計算出宇宙的時間是一維的，而空間是精確的三維。

根據這項研究，可以推論對於時空的維度而言，存在這樣一個尺度轉折點：在極小的尺度下，空間的維度將發生改變，三維中的一維消失而僅留下二維（注：文中時空在極低的尺度下將變成2維，這是4維時空變成2維，而並非作者所理解的三維消失變成2維，原文見《NewScientist》, 2009-8-29, pp.34）。也許，如果你觀察得足夠精細，能看到極小的尺度，那麼你將發現我們仍生活在2維世界中。

四維 – 時間，大騙子

空間是由三維組成的，而時間也是一個維度，那麼它為什麼如此與眾不同？

答案：它沒有不同。物理學家彭羅斯在他的書《引力》中寫道：“空間和時間不是相互獨立的概念。”在愛因斯坦的狹義相對論中，時間和空間融合成一個整體。對一個觀察者來說僅僅空間坐標不同的兩個物體，在另一個觀察者看來，其時間坐標和空間坐標可能都是不同的；同樣地，在一個觀察者看來在同一地點上先後發生的兩個事件，在另一個觀察者看來可能其時間坐標和空間坐標都不同。

這與我們日常的經驗大相徑庭，原因在於我們不夠快。兩名觀察者觀察結果的差異只有當他們的相對速度接近光速——這個宇宙的速度上限——時，才會變得明顯。

愛因斯坦的物理理論揭示了一個深刻的真相：時間和空間是緊密交織聯繫在一起、不可分割的，如同組成一件織物的經緯線。但兩者之間也有明顯的區別：原則上我們能夠沿著三維空間的任意方向旅行，但沿著時間我們只能有單向的苦旅：從過去到未來。如何理解這一差異性呢？

紐約Clarkson大學的物理學家Lawrence Schulman解釋說：這同樣是由於宇宙速度有上限。考慮這樣一個假想實驗：在一個充滿陽光的早晨，7點鐘，拉開窗簾。假設太陽已經在6點55分爆炸了，但是我們感受不到這一點，在我們的周圍仍然充滿陽光，因為光從太陽傳到地球，需要八分半鐘。

見下圖（為簡化起見只畫出了一維時間和二維空間），在這個例子中，宇宙中任何事件，比如正在爆炸的太陽，站在窗邊的我們，等等都可以表示為時間―空間圖中的一個點。由該點發出兩條光線構成的光錐，其中一個代表光從事件點出發原理事件點在時空中運動，另一個表示光朝著事件點運動。如果我們在窗邊就能在太陽爆炸時看到其爆炸行為，則需要信息的傳播要超過我們所處的光錐，移動速度大於光速，而宇宙不允許這樣。

Schulman說道：“正是宇宙的速度上限使得宇宙的部分時空是不可及的。”它打破了時間和空間的對稱性，從而使我們所獲取的信息只能是從過去流向未來的，這就是時間的單向性。

五維 — 進入不可見區域

宇宙究竟有多少維數？這個問題可能沒有唯一答案。

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將時間看作成第四維，這是愛因斯坦理論的精髓。德國數學家卡盧察做了更宏偉的設計。在1919年，他發給愛因斯坦一篇文章，在文中他主張，通過給時空加入第五維，可以將電磁力和萬有引力統一描述為一種力的兩個不同方面。

幾年後，瑞典數學家克萊因在卡盧察的想法上更進了一步。顯然日常生活中我們只看到四維時空，對此克萊因的解釋是：第五維的空間尺度很小，可能高度捲曲地存在於四維時空的每一點。由此他開闢了物理學在超空間的隱藏額外維中尋找力的統一性這一思路，這一思想一直延續到在今天的弦理論中。

然而也許第五維並不像克萊因想像的那麼微小。 1999年哈佛大學物理學家Lisa Randall和位於馬里蘭巴爾的摩的約翰·霍普金斯大學的Raman Sundrum利用弦理論分析了高維空間的性質，他們發現，通過引入巨大的第五個維度，可能可以解決一個一直困擾物理界的難題：為什麼萬有引力比其它的力都要弱？他們的模型認為，我們所熟悉的四維時空漂浮在一個無窮大的負曲率五維時空之中。電磁力和核力被限制在四維空間內部，而萬有引力卻可以滲透到第五維，因此在我們看來，引力比電磁力和核力要弱得多。

與此同時，加拿大安大略湖滑鐵盧大學的Paul Wesson則認為，五維時空是存在的，其中四維是我們生活於斯的時空，而第五維對這個四維時空的作用是產生許多有質量的額外維粒子。這一方案可能解釋了長期困擾粒子物理學界的一個難題：質量是如何產生的，它認為粒子的質量有一個幾何起源。同時，該理論也解決了大爆炸的奇點問題：大爆炸開始時，宇宙處於無限高的溫度和密度狀態（注：這一論斷並非公認結果），在這里基本物理學定律都失效了。而從5維宇宙的觀點來看，大爆炸只是一個幻覺，所以也就根本沒有這個問題。

五維空間的存在帶來了一些更為精妙的結果。 1997年理論物理學家Juan Maldacena提出一個猜想，某些有五個展開維而且包含引力的弦理論等價於四維無引力量子場論，後者可以看成是前者的全息投影，這使得我們的日常世界如同來自宇宙的邊界的投影一般縹緲。

聽起來神秘吧，但在很多領域，這種高-低維理論的等價性已經成功地應用到對困難問題的計算上，比如在高溫超導物理。在Maldacena的圖像中，四維理論並不比五維理論更真實地描述世界。這樣說來，“宇宙究竟有多少維數”這個問題根本沒有唯一的答案。

六維 – 兩個時間

當物理學家提出涉及更多維數的宇宙理論時，他們通常只是指空間是高維的，並不涉及多維時間。

這也很好理解：如果時間是多維的，那麼物體就滿可以在高維時間坐標中沿環路運動，就是說，高維時間使得物體可以隨意穿梭於我們所處的一維時間上的任意兩點，這樣就違背了光速上限，並且使我們可以進行時間旅行，而這與我們目前對宇宙觀測是不相符的。

然而，到了1995年，洛杉磯的南加州大學的Itzhak Bars通過M理論巧妙地構造出了一種存在高維時間的理論框架，該理論允許第二時間維存在，且不違反光速不變且不存在時間旅行，這種模型能夠解決粒子物理學標準模型所無法解決的一些問題。 （注：M理論是弦理論的推廣。該理論的目標是成為萬有理論，一個能解釋所有的相互作用的物理理論。它試圖把四種基本相互作用——電磁力、引力、強力和弱力——統一起來。它還試圖結合當前所有五種超弦理論和11維的超引力理論。為了充分了解它，愛德華•威滕認為需要發明新的數學工具。M理論的“M”包含有許多意思，例如魔術（magic）、神秘（mystery）、膜（membrane）或矩陣（matrix）等等）

但這裡有個陷阱：這個高維時間理論若要成立，必須同時存在一個額外維度的空間，因此在Bars構造的模型中，宇宙共有6個維度（4＋2），這個宇宙中的事物和我們熟悉的4維宇宙中的事物非常相像，唯一的區別是：在6維世界中，描述物質的構成和相互作用的理論是6維標準模型，而當這個高維模型投射到四維時，將產生很多不同的4維版本，而其中的每一種都描述一個不同的四維宇宙。

八維 – 衝浪者的天堂

八維是八元數能夠自然存在的空間。八元數是一種非常奇怪的數學結構，正如加利福利亞大學Riverside分校的數學家John Baze所說：“它是那個人們永遠要鎖在閣樓上的瘋叔叔。”

八元數是僅有的可以進行除法運算的四種數制（注：實數、複數、4元數、8元數）之一，能夠允許所有的代數運算，但八元數的運算方式複雜異常，不像我們熟悉的傳統數制中的任何一個，見下圖：

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為什麼物理學中要引入八元數呢？這是因為在某些物理學問題中它是極為有用的工具。由八元數組成的矩陣可以構成一種叫做E8特殊李群的複雜的數學結構，這種數學結構是某些弦理論的核心內容。

2007年時，E8群成為熱門話題，物理學家Garrett Lisi沒有採用弦理論就構造出了統一引力和其它三種相互作用力的統一理論，他的理論正是基於E8群結構的。 Lisi本人沒有大學職位，他花了相當多的時間在夏威夷衝浪。對他工作的報導觸怒了一些人，比如倫敦帝國大學的Miachael Duff。他說道：“弦理論家自從上個世紀七十年代末就開始研究E8，我們不需要衝浪好手來告訴我們這是有趣的。”（注：Lisi本人的數序基礎不錯，但是物理學很差，其理論在物理上完全佔不住腳，只是一個計算得比較正確的數學練習而已。）

Duff本人對八元數的價值持不可知的態度，他指出所有由此提出的理論都還未經過實驗的檢驗。他說道：“任何人都還不知道到底八元數是否與真實世界有關。”

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十維 – 弦論的世界

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“也許物理學家從更高維數帶回的最石破天驚的想法就是所有可能的宇宙都存在”

十維，我們最後到踏上了弦理論的神話國土。罔顧所有針對弦理論的刻薄話，弦理論仍是目前嘗試統一量子力學和廣義相對論的最熱門理論，也是“萬有理論”的最熱門候選人。該理論認為構成物質的粒子和傳遞相互作用力的粒子都是由弦構成的，弦的不同振動模式對應於不同的粒子。弦是1維的，它卻在由1維時間9維空間構成的10維時空中振動。

為什麼是10維呢？一句話，因為該理論在較少維數時行不通。如同物理學家Michael Green和John Schwarz於1984年指出的那樣，在更少的維度中，在小到10^-35米的普朗克尺度上，數學上的反常會導致時空存在劇烈的量子漲落，這種量子效應會破壞理論的對稱性，從而使理論不再自洽。

這些並不意味著10是就是個魔力數字。實際上弦理論的一種過時的早期形式具有26維。目前存在5種完備自洽的10維弦理論，它們都能解釋我們宇宙的存在，沒有哪一種理論比其它理論更正確，這些不同的理論可以被統一成一個更宏大的理論――11維的M理論，這5種弦理論只是M理論在某些情況下的特例。

M理論認為：這些額外維度是很小並且高度捲曲的，它的尺度如此之小，以至以現有的手段無法觀測到。而這些高維空間捲曲存在的形式是特定的。關鍵是，它們可能的存在形式有無限種，如何找出產生我們宇宙的那種高維空間的存在形式，仍是一個問題。倫敦帝國學院的Michael Duff說道：“這將理論物理學家分成了兩派。”那些認為我們最後將解決這個問題的人面臨著逐漸增多的支持“多宇宙論”的反對派。因為，既然M理論允許存在無限多種可能的宇宙，又沒有一個物理學原理來解釋到底為什麼我們生存在我們的宇宙中，那麼，我們是否要接受人擇原理，承認我們之所以觀察到今天的宇宙，只是因為我們正好生活在這樣一個宇宙中呢？也許，所有的可能的存在的宇宙，實際上都是存在的，這才是物理學家對高維空間進行探索之後，所得到的最令人震驚的結論。