摧毀華爾街的秘密數學公式

“李祥林公式”與金融海嘯

2009-03-15來源:東方早報
http://www.wyzxsx.com/Article/Class20/200903/74129.html

林行止

上世紀三十年代華爾街大崩潰後，投資理論並無重大進展，它之出現突破，為1952年的事；是年3月號（第七卷第一期）的《財務學學 報》（Journal of Finance） ，發表哈利·馬可維茨（HarryM.Markowitz，1922-）的論文《投資組合選擇》（Portfolio Selection），引起投資理論 的革命；馬可維茨的文章，被投資學界稱為“十四頁最重要的論文”——這篇論文只有十四頁，四頁文字其餘皆為程序和圖表。

包括馬可維茨在內，誰都沒有料到這篇短文會造成“革命性影響”。因為這篇被稱為不朽的文章（monumentalarticle），當年只有二十 五歲的作者不會想到三十八年後的1990年，他因此和其他兩位學者米勒（MertonMiller，1923-2000）與夏普 （W.Sharpe，1934-）分享諾貝爾經濟學獎！

馬可維茨知道投資者對回報和風險同樣關注，這是何以投資者通常“不會把雞蛋放在同一籃裡”的原因。風險和報酬率 （Risk&RewardRatio）便是這樣發展出來的。馬可維茨的真知灼見是，風險為整個投資過程的重心，一項投資計劃若沒有風險 （riskless），困難將不存在，但利潤亦相應低微。風險意味著可能發生的事較預期發生的更多！我們並不期待居住的樓宇火災，但火災可能發生，為了避 免這種可能損失，只有買保險；同理，我們不希望所持的股票跌價，然而它們可能下跌，因此我們不把所有資金購進一種股票，即使它看起來前景那麼美好。

分散投資（把雞蛋放在多個籃裡）和看中後重錘出擊（雞蛋少籃子亦少）孰優孰劣，是馬可維茨試圖解答的問題。 《投資組合選擇》告訴投資者如何在風險與報酬之間作正確的取捨（trade-off），即如何建立一個風險與報酬平衡的投資組合。

非常明顯，“提供最高回報的有效率投資組合”，在上世紀七十年代風起雲湧，投資基金的成立如雨後春筍，帶旺了華爾街進而全球的金融業，令基金市場成為以萬億美元計的大生意，它便是建立在馬可維茨組合投資理論基礎上。一篇短文帶起一個行業，馬可維茨因此得以分享諾獎。

南開大學經濟學碩士、加拿大滑鐵盧大學統計學博士李祥林（XiangLinLi，江蘇連雲港人；以DavidXLi之名行世），在2000年3月 號的《固定收入學報》(The Journal of Fixed Income）發表《聯結函數的違約相關分析》（On Default Correlation：A Copulan Approach）。 “聯結”和“相關”均為統計學名詞，用大眾化語言，可作這樣的解釋——夫妻日夕相處，生活習慣漸漸相近，其中一人過世，另一半在短期內的平均死亡率較夫妻 健在者高；這種關係換為統計術語便是“聯結”和“相關”的關係。李祥林把之引入金融分析，指出一間發行債券的公司倒閉，對另外一間甚至多間相關企業必然帶 來衝擊。李祥林的計量模型提出一項創新的觀點“time- until-default”（直至違約〔？〕），描述在一定經濟環境下，公司倒閉的相關聯結性。

李祥林的研究，刺激了信貸衍生債券市場的高速發展，其勢有人稱為“爆炸性”，帶動一種新興衍生金融工具“信貸違約掉期”（CDS，Credit Default Swaps）。從此角度，李祥林對金融業的貢獻不下於馬可維茨。

在傳統市場，投資者購進債券，獲得固定孳息，同時承受債券發行企業或政府可能破產無力付息及屆時無力贖回即違效的風險，CDS等於把債券持有者的 風險賣掉；由於債市數額以萬億美元計，擔保債券不會違約的CDS幾乎是無限制地發行。李祥林適時地提出一個模型，幫助CDS的投資者在特定情況下能準確計 算回報、定價、計算風險及應採取什麼策略以降低風險，等於為結構化的信貸衍生產品的估價和風險控制提供定量化的有效工具，有了這套準則，CDS發行及成交 大增；而把不同種類的CDS匯集而成的“債務抵押債券”（CDO-Collateralized Debt Obligations）應運而生，金融機構把 CDO以債券形式賣給散戶（下游投資者），那等於把風險以傳統最穩健的債券形式賣給小投資者。在風調雨順的日子，CDO持有者可獲比債券孳息高的利息，是 不錯的投資，一旦形勢逆轉，CDO的“現金回報”驟降，市場風雲變色，投資者全軍覆沒，金融海嘯由是而起！

2月25日Wired月刊發表名記者沙爾蒙（F.Salmon）題為《災難的處方——摧毀華爾街的公式》（Recipe for Disaster- The Formula That Killed Wall Stree），歐美傳媒紛紛轉載，網上且有令人愈讀愈糊塗的中譯本。文章指出在不久前，因為帶起一個新 行業令金融市場狂旺的李祥林，是諾貝爾經濟學獎的熱門人選；可是，自從2008年3月次按問題浮現以至七八月間的危機驟起，李祥林公式成為令華爾街步入絕 境的禍首！這種說法當然非常偏頗，那便如武器殺人但殺人者非其發明者。財迷心竅、貪婪無厭和不負責任的華爾街炒家利用所僱用的“火箭專家”讀通李氏公式後 （李氏2005年曾對《華爾街日報》記者說了解其公式的人不多），濫發CDO，才是造成金融海嘯的罪魁。

歷任歐美金融機構要職的李祥林，2008年做了海歸派，擔任中國國際金融的風險管理部門主管。





摧毀華爾街的秘密數學公式

2009年03月12日


和訊特約

長城偉業 康蘭

從上世紀80年代中期起，華爾街就開始依賴金融工程精英們來創造各種新的獲利途徑。他們創造金錢的方法一直成功運轉了這麼多年，直到其中一種“突然”引發了這場全球性的經濟災難。


一年前，人們總認為像李祥林（David X. Li）這樣的數學天才可能會在某日得到諾貝爾獎的眷顧，因為金融經濟學者，甚至華爾街的這類人才的確此前也獲得過諾貝爾經濟學獎。李祥林的開創性工作是衡 量投資風險，而在金融領域，他的成果與以前獲得過諾貝爾獎的學者的貢獻相比更有影響力、更快速地得到廣泛應用。然而，當暈頭轉向的銀行家、政治家、監管者 和投資者在這場自“大蕭條”以來最嚴重的金融大崩潰的廢墟中尋找事髮根源時，他可能更應該慶幸的是自己還有一份金融業的工作。

李祥林從事的研究是確定資產間的相關性(correlation)，也就是將一些完全不同的事件之間的關聯度用數學模型來量化。這是金融領域中的 一大難題，但他構建的被稱為高斯相依函數的公式能以數學手段令極其複雜的風險比以前更容易和精確地被衡量。基於這一公式，金融機構能夠大膽地出售各種新型 證券和金融衍生品，將金融市場擴張至幾乎不可思議的水平。

從債券投資者到華爾街的銀行，從評級機構到監管機構，幾乎每一個人都在使用李祥林的公式。很快，利用這一公式來衡量風險的方法已經在金融領域深入人心，並且幫人們賺到了大量金錢，使得任何對此公式的局限性的警告都被人們忽視了。

然而，突然間，使用這一公式的人們發現，金融市場開始出乎他們意料之外地變化。小小的裂縫在2008年演變成了巨大的峽谷，瞬間吞噬了成千上萬億的資金，將全球銀行體系推向了崩潰的邊緣，並引發了這場波及全球各個角落的經濟危機。

可以肯定地說，李祥林在短期內都不可能獲得諾貝爾經濟學獎的眷顧了。而這場金融大海嘯也使得金融經濟學此前受人們頂禮膜拜、堅信不疑的地位不復存在。

為何數學公式的影響如此之大

令人們驚詫的問題是，一個數學公式怎會給金融界帶來如此毀滅性的結果？答案隱藏在讓養老基金、保險公司和對沖基金向企業、各國家和購房者發放數万 億美元貸款的龐大債券市場中。一個企業若要發行債券借款，投資者會嚴密審查公司賬目，以確認公司能有足夠資金償還貸款。若放款人認為貸款的風險很高，他們 索要的利息率也會更高。

債券投資者都是在賭“大概率事件”，如果債券違約的概率是1%，而他們可以獲得額外2%的利息，他們就會蜂擁而上購買該債券。這就好比一個賭場，人們不介意偶爾輸掉一些錢，只要大多數的時間裡，他們都在贏錢。

債券投資者通常也對由數百乃至上千個住房按揭貸款構成的資產池進行投資。現在涉及的這類活動總規模大得驚人：美國購房人所欠下總債務已達11萬億 美元。然而，按揭貸款資產池的情況比債券市場更混亂。這類投資中，因購房者每月集體償還的現金量，是取決於已獲得再融資的購房人數量和因違約未還款人的函 數，因此投資不存在保證性的確定利率。同樣，如此借貸活動也無固定的還款到期日。因購房人以無法預測的時間償還按揭，例如購房者決定出售房產，因此池內的 還款總數也是無規律可循。最令人頭痛的問題是，尚無法找到給違約出現機會確定一個單個概率值的辦法（即概率越高、貸款損失風險越大）。

華爾街解決的辦法是，通過一個稱之為劃分等級（tranching）的辦法，它將整個池內各類資產進行分級，創建以標註3A評級的無風險的安全債券。位於第一級別的投資者能夠最先獲得償還債息，其他類別投資者雖因違約風險較高而評級稍低，但可收取更高的利率。

評級機構和投資者之所以對3A級的債券感到放心是因為他們相信，成百上千的貸款購房者不會在同一時間內發生違約行為。某人可能會丟掉工作，其他人 可能生病。但這些都是不會給按揭貸款資產池整體帶來重大影響的個體不幸事件。但所有的災難性事件並非都是個體性，等級劃分做法並未解決資產池風險的全部問 題。

房價可能下跌的事件會在同時影響到一大批人。如某購房者家附近住房價值下跌，此人住房的資產淨值也同樣會下降，他(她)周邊鄰居的房產會跟著下跌 的可能性很大。一旦此購房人還款違約，周邊鄰居違約的可能性也很大。這就是所謂的相關性，即一個變量變化與另一些變量的關係和影響程度，度量此關係和關係 程度高低是確定按揭貸款債券風險大小的重要部分。

只要投資者能夠對風險定價，他們就願意冒險。他們厭惡的是不確定性，即無法確定風險大小。正因如此，債券投資者、按揭貸款放款者拼命地想要找到能 夠度量、模擬相關性，並對其進行定價的方法。在計量模型應用於金融市場前，令投資者對按揭貸款資產池中投資感到安全的唯一時刻是不存在風險，即這類債券都 是由聯邦政府通過房地美和房利美兩家企業進行隱形擔保。

隨著全球金融市場在上世紀90年代快速擴張，數以萬億計美元要進入市場，若投資者能夠找到確定任何資產間的相關關係的方法，這些資金便能順利進入 市場。但這是個折磨人的痛苦問題，特別是考慮到成百上千類資產在時刻不停波動和變化。無論是誰解決了這樣一個問題不僅會贏得華爾街永恆的感謝，而且非常可 能會引起諾貝爾獎委員會的關注。


理解相關性概念

為了讓大家更好地理解“相關性”這個概念，我們舉一個比較簡單的例子：假設一個在讀小學的小孩叫愛麗絲，她父母今年離婚的可能性是5%，她頭上長 蝨子的可能性是5%，她看到她的老師踩到香蕉皮摔倒的可能性是5%，她獲得班級朗讀比賽冠軍的可能性是5%。假設投資者們要交易一種基於愛麗絲身上發生的 這些事件的概率的證券，他們的出價可能差不多。


我們考慮兩個小孩，不僅僅是愛麗絲，還有她的同桌布蘭妮。假設布蘭妮的父母離婚了，愛麗絲的父母離婚的概率是多少？大多數情況下還應該是5%，這 就說明在這件事上，他們的相關性可能接近於0；如果布蘭妮頭上長了蝨子，愛麗絲長蝨子的可能性就會高很多，可能是50%，這說明他們的相關性是0.5左 右；如果布蘭妮看到老師摔倒，因為她們是同桌，愛麗絲也看到的概率可能是95%，這時她們的相關性接近1；如果布蘭妮獲得了班上朗讀比賽冠軍，愛麗絲獲得 冠軍的可能性就是0，這件事上她們的相關性是-1。

如果投資者交易的證券是基於這些事件同時發生在這兩個小孩身上的概率，他們的判斷就很可能大不相同了，因為各類事件中，兩個小孩的相關性各不相同。

但這是一個非常不精確的科學。單單是要確定一個人發生某件事的概率是5%，就已經要費很大精力來蒐集歷史數據進行統計和誤差分析了，而還要在此基礎上判斷另一個人在這一個人發生這件事的條件下的概率就更加複雜，而且也缺乏相關的歷史數據，因此出現誤差的可能性也就更大。

在住房抵押貸款市場裡，這種相關性的計算更是難上加難。首先要計算某個地區房價下跌的概率，你可以觀察房價的歷史走勢來推測未來，但一個國家的宏 觀經濟形勢對房價的影響也極其重要。在此基礎上我們還要判斷，如果一個州的某個房子價格下跌，另一個州一間同樣的房子價格下跌的概率又是多少？


李祥林取得突破性進展

李祥林，上世紀60年代出生在中國農村，成績優異，獲得了南開大學的經濟學碩士學位，後來去美國留學，獲得魁北克拉瓦爾大學的MBA學位。在此之 後他繼續深造，先後獲得了加拿大滑鐵盧大學的精算學碩士學位和統計學博士學位。 1997年他在加拿大帝國商業銀行開始了他的金融職業生涯，後來就職於巴克萊資本，並在2004年負責重建其數量分析小組。

李祥林的學術背景在華爾街的精英中非常典型。由於從事學術研究的收入遠不如華爾街投行和對沖基金給出的薪水高，從上世紀80年代開始，大量數理背景的高級人才進入華爾街，從事金融衍生工具的創造、定價和套利。

此時巧合的是，在摩根大通工作的李祥林在《固定收益雜誌》上發表了一份名為“論違約相關性：相依函數方法”的論文。論文以相對簡單的數學方法（當 然是相對華爾街精英人士的水平來說），不用參考歷史違約數據，而是使用了一種金融衍生產品——信用違約互換（CDS）的市場價格數據作為判斷違約相關性的 依據。

如果你是一個投資者，你可以選擇直接把錢借給借款者，也可以選擇向貸款者賣出CDS產品。它相當於對貸出的款項進行一種保險，以防借款者出現違約 情況。這兩種方法都可以收取固定的收益——利息或者是保費。兩者收益接近，但由於針對同一個借款者可以售出無限個CDS，CDS產品的供應並不受限於債券 發行的數量，所以處於開創階段的CDS市場以異乎尋常的速度增長，所向披靡，規模大大超過了作為其基礎資產的債券市場。

當一種CDS的價格上漲，這表明其標的資產違約的可能性上升。李祥林的突破在於，他不去浪費時間等待蒐集足夠的實際違約數據，因為實際違約在現實 中比較少，取而代之，他利用CDS市場的歷史數據作為判斷依據。假設有兩個借款者，我們很難通過他們過去實際違約的情況來計算他們的違約相關性，因為或許 他們過去沒有違約過。但我們可以通過觀察針對這兩位借款者的CDS的歷史價格變化，如果走勢較為一致，那麼可以證明他們的相關性較大。李祥林利用這種價格 走勢的相關性作為“捷徑”，假設了金融市場，這里特別是CDS市場，能夠正確地對違約的可能做出相應的價格反映。

這是對一個複雜問題進行的巧妙簡單化。而且李祥林不僅僅簡化了相關性的計算，他還決定完全不考慮資產池中的各個貸款之間複雜的關係變化。例如，如 果資產池中的貸款數目增加，會發生什麼變化？如果你將負相關性的貸款和正相關性的貸款組合放在一起，整個資產池的風險又如何變化？他說，都不用管這些。我 們只用管一個最終的相關性數據，一個簡單明了的數據就代表所有我們需要考慮的東西。


這一發明使市場迅速發展

這一公式的發明對資產證券化市場具有閃電效應。有了這一風險定價公式，華爾街的精英們看到了新的無限可能。他們馬上著手創造大量新的3A證券。而 像穆迪這樣的評級機構再也不用苦惱這些證券背後所代表的資產的各種風險，他們只需要考慮這個簡單的相關性數據，然後就出來了一個評級，告知人們這些資產的 風險到底多高。

因此，幾乎任何資產都可以捆綁在一起變成3A證券——公司債券、銀行貸款、住房抵押證券等等。這樣形成的資產池一般被稱為債務抵押證券 （CDO），通過將資產池分級，打造出3A級的證券，即使這個證券的組成資產沒有一個是3A級的。那麼對於資產池中較低級別的證券怎麼辦？他們也想出了好 辦法：把多種CDO資產池中低級別的證券再捆綁在一起，組成一個資產池，再次進行分級。這樣組成的投資工具叫做CDO２。到此為止，已經沒有人真正知道這 個產品包含了什麼基礎資產。但他們並不在乎，一切只需要李祥林的相依函數公式（Copula Function）就可以了。

這些年裡，CDS和CDO市場相互依存，共同壯大。數據顯示，2001年年底，在外流通的CDS總額高達9200億美元。到2007年年底，這一數字飆升至62萬億美元。同樣，CDO市場總規模在2000年僅為2750億美元，到2006年擴大至47000億美元。

這些市場發展的基礎就是李祥林的公式。如果你問一些市場參與者，他們都會用“極好、簡潔、好處理”這一類詞來形容這一公式。這一公式幾乎是普遍適用，於是，無論是銀行打包新的債券，還是交易員、對沖基金對這些債券進行複雜的交易時，大家都會用到這一公式。

公式背後的隱憂

曾在穆迪的學術顧問研究委員會任職、現任美國斯坦福大學金融學教授的達雷爾•達菲（Darrell Duffie）指出，CDO市場幾乎完全依賴這一相關性模型，高斯相依（Gaussian copula）一詞已經成為全球金融界普遍接受的詞彙，就連經紀商都依據這一公式對某個級別的債券進行報價。正如衍生品大師珍妮•塔瓦科里（Janet Tavakoli）所描述的那樣，基於相關性的交易已經像一個極具傳染性的思想病毒，遍布金融市場的每個角落。

其實早在1998年，李祥林發明這一函數之前，數量金融學的顧問和講師魏爾莫特（Paul Wilmott）就指出，金融數量之間的相關性是出了名的不穩定，任何理論都不能建立在這樣不可預測的參數之上。這樣的聲音不止一個，在美國金融行業繁榮 的數年裡，每個人都可以說出一大堆理由證明這一函數公式並不完美，它無法應對不可預知的情況：它假定相關性是一個常量而不是變量。投行也經常打電話給斯坦 福大學的達菲教授，邀請他解釋這一公式。每一次，他都會警告投行，這一公式並不適用於風險管理和估價。

現在看來，對這些警告的充耳不聞簡直是笨透了。但在當時，這確實是一件很簡單的事。投行們並沒有理會這些警告，一方面是因為手握控制大權的經理們並不懂金融工程精英的各派爭論，也無法理解各種數學模型的真正含義；另一方面，他們賺了太多錢，貪欲已經無法讓他們停下來了。

在金融市場，風險是永遠無法消除的。我們只能努力建立一個市場，讓不想承擔風險的人們將風險轉嫁給愛冒險的人。在CDO市場，人們用這一公式讓自己相信自己沒有風險，但實際上，他們只是99%的時候沒有風險。一旦1%的可能出現，他們就會前功盡棄、屍骨無存。

李祥林的公式被用於對上億的住房貸款組成的CDO資產池進行定價。因為他的公式以相關CDS的歷史價格走勢為基礎，因此相關性的計算只能局限於 CDS出現之後的年代。而在過去不到十年的時間裡，房價一直在上漲，因此住房貸款之間違約的相關性就相對比較小。一旦房市的繁榮時代結束，整個國家的房價 都下降，房貸違約的相關性就會驟然飆升。

其實對房貸進行資產證券化的銀行也明白，這一公式對房價的上漲有很強的敏感性。一旦房價下跌，所有被評為3A的無風險債券都會瞬間崩塌，沒有退路 可尋。儘管如此，他們都不願意停止製造CDO。面對眼前大把利潤的誘惑，沒有人抵抗得住，他們要做的就是一邊享受暴利一邊祈求房價繼續上漲。


誰應該被指責？

2005年秋，李祥林曾在《華爾街日報》表示，很少人真正理解了這一公式的核心。金融領域中，大多數人都認為李祥林不應該被指責。畢竟，他只是發明了這一 數學模型。我們應該指責的是那些濫用模型的金融機構，是他們的貪欲導致整個金融界盲目地逐利，對這一模型的局限忽略不計，對外界的警告充耳不聞。

李博士目前已經淡出人們對當前討論金融危機原因的討論，並於去年離開美國回到中國。

在現實金融世界中，太多金融分析人士只看到他們眼前的毫無生命的數字，而忘卻了這些數字所代表的有形和真實的現實。他們認為，能夠僅靠只有數年價 值的數據來模擬計算，再定出那些每10000年才可能發生一次事件的概率。人們此後就以如此概率進行投資，而不思考一下這些數據究竟是否有實際意義。正如 李博士本人對自己的模型的表態，最危險的事情莫過於人們盲目地相信模型能給他們帶來所希望的結果。

作者觀點不代表和訊網立場